梯形法则（Trapezoidal Rule）#

最直观的想法：把区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间，每个小区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上用梯形的面积代替曲线下的面积：

其中 $h = \frac{b-a}{n}$ 是步长。梯形法则的误差是 $O(h^2)$——把步长减半，误差大约变为原来的 $1/4$。

辛普森法则（Simpson’s Rule）#

如果我们不满足于用直线（梯形）来近似曲线，而是用抛物线呢？这就是辛普森法则的核心思想——每三个点过一条二次曲线：

注意系数的规律是 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1——非常优雅！辛普森法则的误差是 $O(h^4)$，远优于梯形法则。

高斯求积（Gaussian Quadrature）#

梯形和辛普森都是等距节点的。但等等——谁说节点一定要等距？如果我们允许自由选择节点位置，就可以用 $n$ 个节点达到 $2n-1$ 次多项式的精确积分！

高斯求积的基本形式是：

其中 $x_i$ 是勒让德多项式的根，$w_i$ 是计算出的权重。例如两点高斯求积：