1. 同胚（Homeomorphism）#

两个空间 $X$ 和 $Y$ 同胚，当且仅当存在一个连续的双射 $f: X \to Y$，且 $f$ 的逆映射也连续。这就是「橡皮泥变形」的数学表达。

$X \cong Y \iff \exists f: X \to Y, f \text{ 是连续双射且 } f^{-1} \text{ 连续}$

2. 基本群（Fundamental Group）#

这是代数拓扑的核心工具——用代数方法研究几何形状。基本群 $\pi_1(X, x_0)$ 记录了一个空间上所有「从 $x_0$ 出发回到 $x_0$ 的闭合环路」在连续变形下的等价类。

• 圆周 $S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}$（整数加法群），因为绕 $n$ 圈的回路不等于绕 $m$ 圈的回路（$n \neq m$）
• 球面 $S^2$ 的基本群是平凡群 $\{0\}$——因为任何闭合环路都可以缩成一个点！

3. 欧拉示性数（Euler Characteristic）#

对于多面体，欧拉示性数 $\chi = V - E + F$（顶点数减边数加面数）。球面的 $\chi = 2$，环面（甜甜圈表面）的 $\chi = 0$。这个数也是拓扑不变量——橡皮泥捏不出第二个欧拉示性数！

$\chi = 2 - 2g$

其中 $g$ 是「亏格」（genus），就是曲面上的洞的数量。球面 $g = 0$，甜甜圈 $g = 1$，双层甜甜圈 $g = 2$。